1 .   I n s t a l a t i o n 
 
 2 .   V e r s i o n   h i s t o r y 
 
 3 .   S i t e s   a n d   w i s h e s 
 
 4 .   O r g a n i s a t i o n   o f   F o r m u l a s 
 
 5 .   E x p l a n a t i o n   o f   F o r m u l a s 
 
 6 .   E x a m p l e   p a r a m e t e r s 
 
 7 .   M a t h e m a t i c s 
 
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     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *     * 
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 B y   E d g a r   M a l i n o v s k y 
 
 U s e   t h e s e   a l g o r i t h m s   a s   a n d   w h e r e   y o u   w i s h   a s   l o n g   a s   y o u   g i v e   p r o p e r   c r e d i t s .   
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 1 .   I n s t a l a t i o n : 
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 J u s t   p u t   t h e m   i n   M 3 F o r m u l a s   d i r e c t o r y 
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 2 .   V e r s i o n   h i s t o r y 
 
 
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 
 V e r s i o n   1 . 3 : 
 
 A d d e d   f o r m u l a s : 
 
 +   J I T _ E M _ N _ E l a z o B u l b . m 3 f 
 
 +   J I T _ E M _ N _ K a l e z o B o x . m 3 f 
 
 +   J I T _ E M _ U _ S u p e r s e e d _ L p . m 3 f 
 
 C h u d o b o x ,   D o m o f r a c t a l ,   F L D _ B o x b u l b   -   a d d e d   i n t e r n a l   c o n d i t i o n a l s   t o   s p e e d   u p   c a l c u l a t i o n   w i t h   d e f a u l t   v a l u e s : 
 
 v B e n e s i R O t a t i o n   = 0 ;   T h i c k n e s s   =   0 ;   P o w e r _   = 2 .   N o   n o t i c a b l e   d i f f e r e n c e s   o f   r e n d e r i n g . 
 
 ( a l l   a r e   m a r k e d   w i t h   v e r s i o n   1 . 3 ) 
 
 
 
 V e r s i o n   1 . 2 : 
 
 U p d a t e d : 
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 J I T _ E M _ N _ C h u d o B o x . m 3 f 	 +   B t o M a g   r o t a t i o n   a n d   f r e e   f o l d i n g 
 
 J I T _ E M _ T r a n s f _ F i s h e y e 2 . m 3 f     +   f u l l   4 D 	 
 
 J I T _ E M _ T r a n s f _ F i s h e y e 8 . m 3 f     +   f u l l   4 D 
 
 J I T _ E M _ U _ T e c h n a _ t r a n s f o r m . m 3 f   +   c o m p l e t e l y   d i f f e r e n t   t r a n s f o r m a t i o n   w h i c h   n o w   a c t u a l y   w o r k s . 
 
 J I T _ E M _ N _ B o x B u l b . m 3 f   ,   J I T _ E M _ F l d _ B o x B u l b . m 3 f   s l i g h t l y   l e s s   b o x e d   b u t   c l e a n e r   p o w 4   m o d u l u s   s h a p e . 
 
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 +   J I T _ E M _ F L D m b r o t _ X a m a r i . m 3 f 
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 +   J I T _ E M _ F L D m s e t _ N a r i d a r . m 3 f 
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 +   J I T _ E M _ F l d _ P i l a r s O f K h w a r e z m i . m 3 f 
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 T h e s e   a r e   m a r k e d   w i t h   V e r s i o n   1 . 2   A l l   o t h e r s   s h o u l d   b e   m a r k e d   w i t h   " F o r m u l a   v e r s i o n   1 . 1 "   o r   e l s e   i t   i s   a n   o l d e r   v e r s i o n   f r o m   o l d e r   p a c k a g e s . 
 
 
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 F u l l   p a c k a g e   o f   f o r m u l a s .   C h a n g e s :   i m p r o v e d   m a t h   -   g e n e r a t e s   f a s t e r ,   a l l   F L D s   e x p a n d e d   -   l a r g e r   v a r i e t y   o f   s c e n e r y ,   c o r r e c t e d   m i s t a k e s   o f   c h u d o b o x   s p h e r e f o l d   a n d   t e c h n a   t r a n s f o r m a t i o n .   +   f o r m u l a   D o m o f r a c t a l   w i t h   i t ' s   o w n   e x p l a n a t i o n . 
 
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 V a r i a b l e   A d d i t i o n   o f   o l d   v e r s i o n   o f   F L D s   c o r e s p o n d   t o   f o u r :   A d d i t i o n X   ,   A d d i t i o n Y ,   A d d i t i o n Z   A d d i t i o n W .   T o   k e e p   c o m p a t i b i l i t y   w i t h   p r e v i o u s   s a v e s   o n e   o f   t h e s e   i s   i n   p o s i t i o n   o f   f o r m e r   v a r i a b l e   a n d   o t h e r s   a r e   p l a c e d   a t   t h e   b o t t o m .   T h e   s a m e   g o e s   f o r   e x p a n d e d   f o l d s 
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 3 .   S i t e s   a n d   w i s h e s 
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 
 
 
 O r i g i n a l   u p l o a d   t h r e a d   w i t h   t h e   l a t e s t   v e r s i o n s   a n d   s o m e   p i c s   i s   h e r e   ( u n t i l   t h a t   s i t e   i s   l o c k e d ) : 
 
 h t t p : / / w w w . f r a c t a l f o r u m s . c o m / m a n d e l b u l b - 3 d / e m - f o r m u l a s - f o r - m a n d e l b u l b 3 d / 
 
 ( g i t h u b   c o u l d   h a d   o l d e r   v e r s i o n   o f   t h i s ) 
 
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 
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 I f   y o u   h a d   m a d e   s o m e t h i n g   g o o d   o u t   o f   t h i s   I   W A N T   T O   S E E   I T .   
 
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 
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 
 I   m a d e   a   t h r e a d   f o r   t h i s   p u r p o s e   b u t   t h e   s i t e   s o o n   w i l l   b e   t u r n e d   i n t o   a r c h i v e : 
 
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 
 
 
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 F o r m u l a s   a r e   o r g a n i s e d   a s   f o l o w s : 
 
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 _ F l d _   -   3 D   s p a c e   f o l d i n g   f o r m u l a s .   
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 
 _ N _   -   " N o r m a l "   M a n d e l b r o t   l i k e   f o r m u l a s   a n d   s o m e   b o x e s .   
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 _ T r a n s f _   -   T r a n s f o r m a t i o n s   i s   l i k e   _ f o r m u l a s   i n   A d s .   
 
 
 
 J I T _ E M _ N O T H I N G . m 3 f   -   T h e   m o s t   i m p o r t a n t   f o r m u l a   e v e r .   D o e s   a b s o l u t e l y   n o t h i n g . 
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 i n v p o w e r : = p o w e r ( P o w e r X   * P o w e r Y   * P o w e r Z * P o w e r W , - 0 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ) ; 
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 ( I t   n e e d s   a   l o t   o f   3 s ,   t h i s   i s   v i s i b l e .   N u m b e r s   o f   3 s   d e p e n d s   o n   D o u b l e   o r   F l o a t ) 
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 T h e n   r a d i u s   i s   c a l c u l a t e d   b y 
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 W h a t   I   g o t   I   c a l l e d   a   s u p e r s e e d   b e c o u s e   s o m e   c o m b i n a t i o n s   l o o k s   l i k e   s e e d s .   
 
 T h e n   i t   i s   v i s i a l i s e d   b y   i t e r a t i n g   r a d i u s   i n   m o d i f i e d   s i g m a   f u n c t i o n : 
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 t e m p : =   ( S i g m a   +   R   ) * d i v i s o r ; 
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 F l a m e   f r a c t a l s   h a v e   t r a n s f o r m a t i o n s   F i s h e y e   a n d   E y e f i s h .   I n   A p o p h y s i s : 
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 I t   g e n e r a t e s   s c e n e r y   a s   f i s h   e y e   l e n s   b u t   m a t h e m a t i c a l y   i t   i s   s i g m a   f u n c t i o n   a p p l i e d   t o   r a d i u s : 
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 h t t p s : / / e n . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / s i g m a _ f u n c t i o n 
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 t e m p : =   ( S i g m a   +   R   ) / ( S i g m a + 1 ) ; 
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 ( x , y , z )   =   t e m p * ( x , y , z ) 
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 I t   k e e p s   v a l u e s   s l i g h t l y   t o   1   b u t   a l l o w s   t h e m   t o   r i s e . 
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 S i g m a   i n   d i f f e r e n t   f o r m u l a s   i s   " S t r e n g h t " ,   " a n t i F i s h e y e "   o r   " s t r a n g e n e s s " .   T h e   l a r g e r   t h e   v a l u e   t h e   l e s s   t h e   e f f e c t .   U n t i l   i t   r e a c h e s   - 1     w h a t   i s   d i v i s i o n   b y   z e r o ,   t h e n   l a r g e r   n e g a t i v e   v a l u e s   c r e a t e s   l a r g e r   i n v e r s e d   s p h e r e s . 
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 H e r e   I   u s e d   i n t e r p o l a t i o n   b e t w e e n   0   ( f i r s t   t h i n g )   a n d   1   ( s e c o n d   t h i n g ) 
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 m o d u l u s : = 1 -   S t r e n g h t _ I n t e r p o l ; 
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 ( x , y , z )   =   ( x 1 , y 1 , z 1 ) * S t r e n g h t _ I n t e r p o l   +   ( x , y , z ) * m o d u l u s ; 
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 I t   i s   l i k e   p o i n t s   o n   0   a n d   1   o n   r u l e r .   0 . 5   i s   m i d d l e   b u t   n e g a t i v e   v a l u e s   o r   v a l u e s   >   1   i s   e x t r a p o l a t i o n .   I   u s e d   t h i s   b e c o u s e   i t   t a k e s   j u s t   o n e   n u m b e r   i n s t e a d   o f   t w o   " w e i g h t s " . 
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 T g l a d s   s p h e r e f o l d   o f   A m a z i n g b o x / m a n d e l b o x   i s   l i k e   t h i s : 
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 r 2   : =   x _ t m p * x _ t m p   +   y _ t m p * y _ t m p   +   z _ t m p * z _ t m p ; 
 
 r m i n 2   : =   R m i n * R m i n ; 
 
     i f   r 2   <   r m i n 2   t h e n 
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         b e g i n 
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             t e m p   : =   1 / r m i n 2 ; 
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         e n d 
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     e l s e   i f   r 2 < 1   t h e n 
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         b e g i n 
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             t e m p   : =   1 / r 2 ; 
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         e n d 
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     e l s e 
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         b e g i n 
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 ( x , y , z ) = ( x , y , z ) * t e m p 
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 I t   a c t u a l y   d o e s   t w o   t h i n g s .   O n e   i s   f o l d   a r o u n d   s p h e r e   a n d   a n o t h e r   i s   s p h e r e   i n v e r s i o n   w i t h   r a d i u s   1 .   H e r e   C h u d o b o x   u s e s   f o l d   a r o u n d   s p h e r e   a n d   K a l e z o b o x   u s e s   s p h e r e   i n v e r s i o n   b e t w e e n   a   r a d i u s   a n d   m i n   r a d i u s .   
 
 S p h e r e   i n v e r s i o n   b y   c h a n g a b l e   r a d i u s   i s : 
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 t e m p   : =   s c a l e * R a d i u s _ S I * R a d i u s _ S I / ( r a d i u s * r a d i u s ) ; 
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 B o x f o l d 
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 I t   o r g i n a l y   w a s   w r i t e n   w i t h   c o n d i t i o n a l s : 
 
 i f   c o m p o n e n t   >   1 : 
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   c o m p o n e n t   : =   2   -   c o m p o n e n t 
 
 e l s e   i f   c o m p o n e n t   <   - 1 : 
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   c o m p o n e n t   : =   - 2   -   c o m p o n e n t 
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 H o v e w e r   i n   M a n d e l b u l b 3 D   m o s t   o f   A m a z i n g b o x / M a n d e l b o x   f o r m u l a s   u s e s   a l g e b r a i c   f o r m u l a : 
 
 x   : =   a b s ( x + F o l d )   -   a b s ( x - F o l d )   -   x ; 
 
 y   : =   a b s ( y + F o l d )   -   a b s ( y - F o l d )   -   y ; 
 
 z   : =   a b s ( z + F o l d )   -   a b s ( z - F o l d )   -   z ; 
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 I n   a l l   f o r m u l a s   I   u s e d : 
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 y   : =   y   +     a b s ( y -   F o l d Y )   -   a b s ( y +   F o l d Y )     ; 
 
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 
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 I   h a d   f o r g o t e n   w h y   I   u s e d   t h i s   m o d i f i e d   v e r s i o n .   I n   m a n y   f o r m u l a s   t h e s e   a r e   i d e n t i c a l .   H o w e v e r   n o t   i n   A m a z i n g b o x / M a n d e l b o x .   B u t   w h o   n e e d s   a n o t h e r   s l i g h t l y   d i f f e r e n t   A b o x .   
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 R e c t a n g u l a r   f o l d i n g   w i t h   c h a n g a b l e   x   a n d   y   a n d   z   f o l d s   h a v e   n u m b e r   o f   a d v a n t a g e s .   T h e n   g a b a r i t e s   o f   f r a c t a l   c a n   b e   a d j u s t e d   a n d   i f   o n e   o f   t h o s e   f o l d s   = 0   t h e n   i t   i s   l i k e   A m a z i n g   s u r f a c e   f o r m u l a . 
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 A d d i n g   u n i t   v e c t o r   m u l t i p l i e d   b y   s o m e   s m a l l   v a l u e   ( 0 . 2 )   t o   t h e   b a s e   v e c t o r   w i l l   s h r i n k   t h e   f r a c t a l .   ( I t   e s c a p e s   s o o n e r )   H o w e v e r   a d d i n g   i t   m u l t i p l i e d   b y   s o m e   n e g a t i v e   v a l u e   e n l a r g e s   t h e   f r a c t a l .   R e s u l t   l o o k s   j u s t   l i k e   a d d i n g   m o r e   o r   l e s s   a i r   t o   t h e   b a l l o o n . 
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 H e n c e   i n   D o m o f r a c t a l   u n i t   v e c t o r   i s   s u b s t r a c t e d   b y   T h i c k n e s s   v a l u e . 
 
 r a d i u s   : = s q r t ( x * x + y * y + z * z )   ; 
 
 x : =   x   -   T h i c k n e s s * x / r a d i u s   ; 
 
 y : =   y   -   T h i c k n e s s * y / r a d i u s   ; 
 
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 A d d i t i o n 
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 x = x + a d d i t i o n   ;   y = y + a d d i t i o n   ;   z = z + a d d i t i o n 
 
 I t   d o n ' t   c h a n g e   m u t c h ,   b u t   w i t h   f e w   p a r a m e t e r s   I   f o u n d   t h a t   i t   u s e f u l l   w h e n   I   n e e d   t o   m o v e   f r a c t a l   a r o u n d   a n d   f i n e t u n e   i t . 
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 O f   c o r s e   i f   a d d i t i o n   v a l u e s   i s   d i f f e r e n t   i t   i s   l i k e   J u l i a   s e t . 
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